Op school vond ik goniometrie lastig. Onlangs bladerde ik door een paar schoolboeken, en toen wist ik weer waarom.
In die boeken werden de belangrijkste goniometrische functies zo uitgelegd:
De verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde heet de sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek.
De verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde heet de cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek.
De verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de aanliggende rechthoekszijde heet de tangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek.
Dat klopt allemaal, maar veel wijzer word je er niet van. Het blijft moeilijk om aan te voelen hoe het werkt.
Laten we het eens op een andere manier proberen.
Hier kun je zelf een hoek maken. Beweeg de gele lijn en kies een hoek van 0° tot 360°:
Stel dat
=
1
(1 meter, 1 centimeter of gewoon 1 – wat je handig vindt)
Nu kunnen we de verticale positie meten van :
We hebben zojuist de sinus gedefinieerd!
De sinus draait helemaal om de verticale positie. Hij is 0 als we bij 0° beginnen, en groeit dan tot 1 bij 90°. Probeer verschillende hoeken en kijk hoe hij verandert.
Nu de horizontale positie:
De horizontale positie van is de cosinus. Die verandert op een andere manier: als we bij 0° beginnen, is hij 1, maar naarmate we omhooggaan, krimpt hij tot 0.
Laten we de sinus- en cosinuslijn met elkaar verbinden. Zo kun je talloze rechthoekige driehoeken maken:
Je ziet er een paar interessante patronen in. Maar het waardevolste inzicht is dit:
We weten hoe en zich verhouden tot in elke rechthoekige driehoek.
Welke scherpe hoek je ook kiest, of het nu 5°, 45° of 89° is: bij die hoek krijg je altijd dezelfde driehoeksvorm, met dezelfde verhoudingen tussen de zijden.
In elke rechthoekige driehoek met een hoek van 30° is altijd de helft van . Want sin 30° = 0,5.
In elke rechthoekige driehoek met een hoek van 75° is altijd ongeveer 0,26 × . Want cos 75° ≈ 0,26.
Enzovoort!
Hoe werkt het als een andere lengte heeft?
Niet veel ingewikkelder! Vermenigvuldig sinus en cosinus gewoon met die lengte.
(In de demo hieronder blijven we tussen 0 en 90°, waar sinus en cosinus niet negatief zijn.)
Sinus en cosinus vertellen je welk deel van de schuine zijde elk van de andere twee zijden is.
Die definities uit het schoolboek hoef je niet uit je hoofd te leren. Als je onthoudt hoe sinus en cosinus eruitzien op de cirkel, volgt de rest vanzelf.
Volgend hoofdstuk:
Tangens