У шкільні часи тригонометрія давалася мені складно. Переглянувши підручники за 8-й клас, я пригадав, чому.
Головні тригонометричні функції у цих підручниках описують так:
Відношення протилежного катета до гіпотенузи називається синусом гострого кута прямокутного трикутника.
Відношення прилеглого катета до гіпотенузи називається косинусом гострого кута прямокутного трикутника.
Відношення протилежного катета до прилеглого катета називається тангенсом гострого кута прямокутного трикутника.
Ці твердження точні, але вони не допомагають розібратися, не кажучи вже про те, щоб побачити у тригонометрії якусь красу.
Пропоную підійти до цієї теми з іншого боку.
Спробуйте створити будь-який кут від 0° до 360°:
Нехай
=
1
(1 метр, 1 дециметр, або просто 1 — як вам зручно).
Виміряємо вертикальне положення :
Ми щойно визначили синус!
Синус показує вертикальне положення нашої точки . Коли ми починаємо з 0°, він дорівнює 0, а потім зростає до 1, коли досягає 90°. Спробуйте різні кути — подивіться, як змінюється синус.
Перейдемо до горизонтального положення точки:
Горизонтальна координата — це косинус. Його значення змінюється за іншою логікою: при 0° косинус дорівнює 1, але з рухом нашої точки вгору він зменшується до 0.
Якщо ми з’єднаємо лінії синуса та косинуса, отримаємо прямокутний трикутник. Рухаючи точку по колу, можемо отримати багато таких трикутників:
Тут можна помітити цікаві закономірності, але головне відкриття, яке ми можемо зробити, таке:
Ми знаємо, як та співвідносяться з в будь-якому прямокутному трикутнику.
Для будь-якого гострого кута — 5°, 45° або 89° — форма трикутника та співвідношення його сторін будуть завжди однакові.
У будь-якому прямокутному трикутнику з кутом 30°, завжди дорівнює половині . Тому що sin 30° = 0,5.
У будь-якому прямокутному трикутнику з кутом 75°, завжди буде приблизно 0,26 × . Тому що cos 75° ≈ 0,26.
І так далі!
Значення синуса і косинуса для будь-якого кута давно порахували і записали, щоб ми з вами могли ними користуватися, якщо буде потреба.
Як усе працює, якщо має іншу довжину?
Зовсім нескладно! Помножимо синус і косинус на цю довжину, й отримаємо довжину інших сторін.
(У прикладі знизу рахуємо у діапазоні 0–90°, де синус та косинус не відʼємні).
Синус і косинус показують, яку частину гіпотенузи складають інші сторони трикутника.
Не потрібно зубрити твердження з підручника. Якщо ви можете пригадати, як синус та косинус виглядають у колі, все має стати на свої місця.
Далі буде: тангенс, а також чому замість «зручних» градусів використовують π та 2π.